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5. データに有意差があるとはどういうことか 1 ( $t$ -検定)

5.1 実験結果の有意差

化学工学・生物化学工学系（化学系・生物系）の実験データ

同一条件での繰り返し実験の数が限られる（3〜5）. 例えば, ファーメンテーターでの酵素反応実験ならば, 1 回の実験に数日かかることはざら. 多くの条件による違いを検討したければ, 1 条件での繰り返し数は限られる.

有意差があるかどうかを調べるとは

例として, 条件 I と条件 II でそれぞれ 3 回の繰り返し実験を行って, 生産物濃度 $x g / L$ として, 以下の値を得たとする.

$\begin{aligned} x_{I} & = {10.1, 10.4, 9.8} \\ x_{II} & = {10.7, 11.6, 11.3} \end{aligned}$

これらは, それぞれ, 母集団 I, II からのサイズ 3 のサンプルである.
この 2 つの実験結果に有意な差があるかどうか, を判定するのであるが, 統計的には, 条件 I の母集団の平均値 $μ_{I}$ と条件 II の母集団の平均値 $μ_{II}$ に差があると言えるかどうかを, データ $x_{I}$ , $x_{II}$ にもとづいて調べることになる.

Remark

「有意差がある」, 「有意差があるとは言えない」, という 0 か 1 かの判断ではなく, $p$ 値（後述）や信頼区間を報告することが推奨されている.
通常, $p = 0.05$ , $p = 0.1$ 以下であれば, それぞれ水準 5%, 10% で有意差が認められる, という.
しかし, $p$ 値がこれよりも大きいとき, 「有意差がない」とは言えない. あくまで, 有意差があるはいえない, 差があることを強く示す統計的根拠はない, ということである.

5.2 仮説検定・第 1 種過誤・第 2 種過誤

帰無仮説と対立仮説

否定したい結論を帰無仮説として設定, この仮説のもとに実験結果のようなデータが得られる確率（ $p$ -値）を計算し, $p$ が十分小さければ仮説を棄却（reject）する.
2 つのデータに有意な差があるかどうかを判定する場合, 帰無仮説（null hypothesis） $H_{0}$ は,条件 I の母集団の平均を $μ_{I}$ , 条件 II の母集団の平均を $μ_{II}$ として

H_{0} : μ_{I} = μ_{II}

対立仮説（alternative hypothesis） $H_{1}$ は

H_{1} : μ_{I} \neq μ_{II}

仮説は, パラメーターについての仮説であることに注意.
母集団について検定するわけである.

第 1 種過誤・第 2 種過誤

英語では Type-I error, Type-II error である. 訳語はどうも堅苦しい.
第 1 種過誤は, 実は $H_{0}$ が正しいのに, それを棄却してしまうこと.
第 2 種過誤は, 実は $H_{1}$ が正しいのに, 棄却しそこなうこと.

5.3 Student の $t$ -検定

なぜ Student の $t$ -検定なのか

化学, 生物分野, 化学工学・生物化学工学では, 同一条件での繰り返し実験数を多くとることは難しく, 慣習として 3 回程度の繰り返し実験の結果からデータ解析を行うことが多い.
このような条件下で, 有意差の有無について検定する方法は, Student の $t$ 検定くらいしかない.

注意点

Student の $t$ -検定は,
- 1. 2 つの母集団がともに正規分布に従っている,
- 1. 2 つの母集団の分散が等しい
- 1. 2 つの母集団は独立である

という仮定の上に成り立っている.

仮定が成り立っているか不明な場合については後述

Student の $t$ -検定法の手順

Step 1: 帰無仮説 $H_{0}$ と対立仮説 $H_{1}$ を設定する.

例えば, 2 つの標本, $x_{I}$ , $x_{II}$ に有意差があるかどうか検定する場合には, 次の 2 つの仮説を設定する.

H_{0} : μ_{I} = μ_{II}

H_{1} : μ_{I} \neq μ_{II}

Step 2: 2 つの標本の平均値の差の $t$ -統計量を求める..

例えば, 独立な 2 標本の $t$ -検定の場合, 標本の大きさを $n_{1}$ , $n_{2}$ , 標本分散（不偏分散）を $S_{1}$ , $S_{2}$ として, 以下のステップに従って Student の $t$ を計算する.
step 2.1 合併分散（pooled variance） $S_{p}^{2}$ を計算する.

$\begin{matrix} (2.1) & S_{p}^{2} = \frac{S_{1}^{2} (n_{1} - 1) + S_{2}^{2} (n_{2} - 1)}{n_{1} + n_{2} - 2} \end{matrix}$
この形だとややこしくみえるが, 実は, $S_{p}^{2}$ は, それぞれの平均値に対する差の平方和を自由度 $n - 2$ で除したものである. その意味で, 1 群での標本分散と本質的に同じである.
また, ここで, 等分散を仮定していることから, 平方和を足すことができる.

step 2.2 平均値の差 ${\bar{X}}_{1} - {\bar{X}}_{2}$ に関して次の $t$ -統計量を算出する.

$\begin{matrix} (2.2) & T = \frac{{\bar{X}}_{1} - {\bar{X}}_{2}}{S_{p} \sqrt{\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}}} \end{matrix}$
これらの導出は別項

Step 3: $p$ -値の算出と有意差の検定

自由度 $n_{1} + n_{2} - 2$ の $t$ 分布から統計量 $t$ に対応する $p$ -値を計算する.
$p < 0.1$ の場合, 0.1 水準で有意差がある, $p < 0.05$ の場合, 0.05 水準で有意差がある, とする.

Step 4（オプション）: 平均値の差の信頼区間の算出

自由度 $n_{1} + n_{2} - 2$ の $t$ 分布から, $t_{α}$ , の値を計算し, 信頼区間を次式で算出する（両側検定の場合）.

\begin{matrix} (2.3) & (| {\bar{X}}_{1} - {\bar{X}}_{2} | - S_{p} t_{α}, | {\bar{X}}_{1} - {\bar{X}}_{2} | + S_{p} t_{α}) \end{matrix}

ここで, $S_{p} = \sqrt{S_{p}^{2}}$ は平均値の差の標準偏差で, 合併分散（プールされた分散）の平方根, $t_{α}$ は水準 $α$ における $t$ の値である.
95%信頼区間に 0 が含まれていれば, 0.05 水準で有意差がある, ということになる.

例題 5.1

条件 A, 条件 B ののもとで, それぞれ 3 回の繰り返し実験を行い, 試料中の成分 P の濃度として次の値を得た (単位は, μg/L). それぞれの標本は, 同じ分散をもつ正規分布から得られたものと考えてよいとする.

条件	測定値
A	10.1 10.4 9.8
B	10.7 11.6 11.3

1. 標本 A, 標本 B それぞれの標本平均と標本標準偏差（不偏分散の平方根）を求めよ.
1. 標本 A と標本 B の平均値の差の, 合併分散, 標準偏差を求めよ.
1. 標本 A と標本 B の平均値の差の 95% 信頼区間を求めよ.
1. 結果は, 水準 $α = 0.05$ で有意であると言えるか.
1. $p$ -値を求めよ.

解答例

独立 2 群の差の検定であり, ここでは, 独立 2 標本 $t$ -検定を行う.
標本 A, 標本 B それぞれの平均値, 標本分散（不偏分散）と標準偏差（題 1.1 を参照）.

標本A : \bar{x} = 10.10, s_{1}^{2} = 0.0900, s_{1} = 0.300

標本B : \bar{y} = 11.20, s_{2}^{2} = 0.2100, s_{2} = 0.458

平均値の差の標本合併分散 $s_{p}^{2}$ を式 (2.1) で算出, それをもとに合併標準偏差 $s_{p}$ を計算する.

$s_{p}^{2} = 0.150$

$s_{p} = \sqrt{0.150} = 0.387$

$t$ -検定で信頼区間を算出する. 自由度 4 の $t$ -分布の $α = 0.05$ の $t$ -値, $t_{α}$ を $t$ -分布表から求め, 95% 信頼区間を式 (2.3) で求める.

t_{α} = 2.776

(0.222, 1.978)

信頼区間による検定: 95% 信頼区間が 0 を含まないので, 水準 $α = 0.05$ で平均値に有意な差があるといえる.
$p$ -値による検定: Student の $t$ -統計量を式 (2.2) で計算し, 自由度 $3 + 3 - 2 = 4$ の $t$ -分布から, $p$ -値を計算する.

t = 3.478

p = 0.02539

$p$ -値からも, 水準 $α = 0.05$ で平均値に有意な差があるといえる.

Python での $t$ -検定の例

scipy.stats.ttest_ind を使う.
使い方は極めて簡単.
$t$ -統計量と $p$ -値が出力される.
paired $t$ -test には scipy.stats.ttest_rel を使う.

[44]:

# Scipy.stats.ttest_ind
import numpy as np
import scipy.stats


x = [10.1, 10.4, 9.8]
y = [10.7, 11.6, 11.3]
res = scipy.stats.ttest_ind(x, y)
print(res)

Ttest_indResult(statistic=-3.47850542618521, pvalue=0.02538644793661544)

注意点

Student の $t$ -統計量は, 母集団が正規分布に従い, かつ母分散が等しい場合で, 標本サイズが小さいときに用いられる.

なぜ生物・化学系で Student の $t$ -検定がよく使われるのか

2 群間Student’s :math:`t`-test の仮定: 正規分布, 等分散性, 独立,
サンプル数が少ないと正規性の検定は無理（正規性を仮定しても問題ないという根拠が必要だが, 必ずしも根拠が明らかでない場合にも使われれいる）.
慣習的に, 同じものを測定しているのだから, 実験データのばらつきは正規分布に従っているだろう, という期待でやっているのが実情であろう.
統計学的にはクエスチョンマークがつくが, 各専門分野ではそれぞれの判断があり得る.

5.3 Welch の $t$ -検定（Welch’s $t$ -test）

等分散性が明らかではなく, サンプル数が極端には少なくないとき,

等分散性が成立するときもしないときも, Welch の $t$ -検定を使う.
Welch の $t$ -検定は,
- 1. 2 つの母集団がともに正規分布に従っている,
- 1. 2 つの母集団は独立である,
- 1. 2 つの母集団の分散が等しいか否かはわからない,

ときに使う.

W = \frac{{\bar{X}}_{1} - {\bar{X}}_{2}}{\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}}}

$W$ は自由度 $ν$ の $t$ -分布に従う. $ν$ は次の式で推算できる.

\hat{ν} = \frac{{(\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{S_{2}^{2}}{n_{2}})}^{2}}{\frac{(S_{1}^{2} / n_{1})^{2}}{n_{1} - 1} + \frac{(S_{2}^{2} / n_{2})^{2}}{n_{2} - 1}}

例題 5.2

次のような独立なサンプルが得られたとする.
Welch の $t$ -test でデータの母数の平均値に有意差があるかどうか検定せよ.

x = [0.61, 1.69, 0.75 , 0.44, 1.16]
y = [1.43, 1.76, 1.79, 1.33]

[69]:

import scipy.stats

x = [0.61, 1.69, 0.75 , 0.44, 1.16]
y = [1.43, 1.76, 1.79, 1.33]
res = scipy.stats.ttest_ind(x, y, equal_var = False)
print(res)

Ttest_indResult(statistic=-2.5649599674782246, pvalue=0.043481803801431025)

解答 5.2

$scipy.stats.ttest_ind$ にて, $equal_value=False$ を指定すると Welch の $t$ -test となる.
$p = 0.043$ で水準 0.05 で有意な差がある.

5.4 Student vs Welch

Student の $t$ -検定と Welch の $t$ -検定の比較.

	Student	Welch
等分散性	等分散が確実	等分散かどうか不明
$T$ 値の分母	$S_{p} \sqrt{\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}}$	$\sqrt{\frac{S_{1}}{n_{1}} + \frac{S_{2}}{n_{2}}}$
自由度	$n_{1} + n_{2} - 2$	h:: hat nu = frac{left(dfrac{S_1^2}{n_1} + dfrac{S_2^2}{n_2} right)^2}{dfrac{(S_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + dfrac{(S_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}

ここで, Student の $t$ -検定の欄の $S_{p}$ は合併分散で, 次で表される.

$S_{p}^{2} = \frac{S_{1}^{2} (n_{1} - 1) + S_{2}^{2} (n_{2} - 1)}{n_{1} + n_{2} - 2}$

演習問題

5.1

合併分散が式 (2.1) のように計算できるのはどのような場合か.

5.2

等分散が成り立つかどうかが不明な場合, まず, F検定で等分散が成り立つかどうかを確認し, この仮定が成り立った場合に Student の t 検定, 成り立たなかった場合に, Welch の t 検定を用いる, という手順がある. 一見もっともそうに見えるが, このやり方には批判がある.　web を検索して, なぜこのやり方がダメなのか, 批判派の論点を簡潔にまとめよ.

5.3

前章の例題 4.1 で, サンプル $[10.1, 10.2, 9.3]$ が, 真の値 (母平均) が８に等しいことを棄却するような検定について, 帰無仮説と対立仮説を示せ.
真の値が 8 以下であることの検定について帰無仮説と対立仮説を示せ.
それぞれについて, 第１種過誤, 第２種過誤はどのような場合か示せ.

5.4

次の２つのサンプルは共に正規分布に従い, 分散も等しいことがわかっている.
2 つのサンプルが同じ母集団から出たものかどうか検定せよ.

x = [0.8, 2.1, 0.7, 1.3, 0.5]
y = [4.7, 1.8, 2.2, 2.4, 3.7]

5.5

次の２つのサンプルは共に正規分布に従うが, 分散については情報がない.
2 つのサンプルが同じ母集団から出たものかどうか検定せよ.

x = [2.3, 1. , 1.1, 0.5, 0.6]
y = [3.3, 5.4, 2.5, 3.4, 1.8]

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5.1 実験結果の有意差

化学工学・生物化学工学系（化学系・生物系）の実験データ

有意差があるかどうかを調べるとは

Remark

5.2 仮説検定・第 1 種過誤・第 2 種過誤

帰無仮説と対立仮説

第 1 種過誤・第 2 種過誤

5.3 Student の t-検定

なぜ Student の t-検定なのか

注意点

Student の t-検定法の手順

Step 1: 帰無仮説 H0 と対立仮説 H1 を設定する.

Step 2: 2 つの標本の平均値の差の t-統計量を求める..

Step 3: p-値の算出と有意差の検定

Step 4（オプション）: 平均値の差の信頼区間の算出

例題 5.1

解答例

Python での t-検定の例

注意点

なぜ 生物・化学系で Student の t-検定がよく使われるのか

5.3 Welch の t-検定（Welch’s t-test）

等分散性が明らかではなく, サンプル数が極端には少なくないとき,

例題 5.2

解答 5.2

5.4 Student vs Welch

Student の t-検定と Welch の t-検定の比較.

演習問題

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5. データに有意差があるとはどういうことか 1 ( $t$ -検定)

5.3 Student の $t$ -検定

なぜ Student の $t$ -検定なのか

Student の $t$ -検定法の手順

Step 1: 帰無仮説 $H_{0}$ と対立仮説 $H_{1}$ を設定する.

Step 2: 2 つの標本の平均値の差の $t$ -統計量を求める..

Step 3: $p$ -値の算出と有意差の検定

Python での $t$ -検定の例

なぜ生物・化学系で Student の $t$ -検定がよく使われるのか

5.3 Welch の $t$ -検定（Welch’s $t$ -test）

Student の $t$ -検定と Welch の $t$ -検定の比較.