Fourier の法則

あるいは

\begin{equation} \boxed{ \frac{q}{A} = - \lambda {\frac{\Delta T}{\Delta x}} } \label{eq: fourier-flus} \end{equation}

伝熱, 今日のポイントはこの式.

\begin{align} \text{熱フラックス} = \text{熱伝導度} \times \text{温度勾配} \\ (\text{移動速度} = \text{移動速度係数} \times \text{駆動力}) \end{align}

単位

• \(\frac{q}{A}\): ある面積 \(A\) を 1 秒間（単位時間）に通過する熱の量 \([\mathrm{J~s^{-1}~m^{-2}}] = [\mathrm{W~ m^{-2}}]\)

• \(q\): 1 秒間に移動する熱量 \([\mathrm{J~s^{-1}}] = [\mathrm W]\)

• \(\frac{\Delta T}{\Delta x}\): 温度勾配 \([\mathrm{K~m^{-1}}]\)

• \(\lambda\): 熱伝導度, \([\mathrm{W~K^{-1}~m^{-1}}]\)

電流とのアナロジー

電流とのアナロジー（図）

律速段階

Quiz

以下で, 熱伝導度は 20 °C の値が近似的に使えるものとせよ.

1. 厚さ 5 mm のアルミニウム板の両端が 20℃ と 60℃ に保たれているとする. このとき, 単位面積あたりの 1 秒間の伝熱量を求めよ.

2. 10 \(\mathrm{cm^2}\), 100 \(\mathrm W\) の熱源がある. この熱源の片面に厚さ 10 mm の板をあて, この板の熱源と反対の面の温度を冷却水で 20℃ に保つ. 熱源および板の他の面は断熱されているとし, 接触面での熱移動の抵抗は無視できるとする. このとき, 板の材料として, 銅, アルミ, 鉄を用いたとき, 定常状態におけるそれぞれの熱源の温度を求めよ.

3. 厚さ 10 mm の銅板と 同じく厚さ 10 mm のガラス板が重なっている. 銅板の表面が 50℃, ガラス板の表面が 30 °C に保たれているときの, 銅とガラスの接触面の温度を求めよ. 接触面での熱移動の抵抗は無視できるものとする.

宿題 1

上の 3. でガラスの替りに, アルミを使った場合の, 接触面での温度を求めよ.

Quiz 1, 2 解答例

1. \(-q/A\) を求める問題である. 熱伝導度は, \(\lambda = 228 \ \mathrm{W~m^{-1}~K^{-1}}\) で, 厚さは \(\Delta x = 5.0 \ \mathrm{mm} = 5.0 \times 10^{-3} \ \mathrm{m}\), 温度差は \(\Delta T = 60 - 20 = 40 \ \mathrm K\) だから, 式 (1) より

:nbsphinx-math:`begin{align*}

-frac{q}{A} &= lambda frac{Delta T}{Delta x} \ & = (228)frac{(40)}{(5.0times10^{-3})} \ & = 1.82 times 10^6 mathrm{W~m^{-2}}

end{align*}`

2. 式 (1) を変形して

これより, それぞれ 22.6, 24.4, 33.8 °C

Quiz 3 解答例

3. 教科書例題 6・４ にならって, 銅板の表面温度を \(T_1\), ガラス板の表面温度を \(T_2\), 接触面の温度を \(T_3\), 銅, ガラスの熱伝導度をそれぞれ \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), 銅板, ガラス板の厚さをそれぞれ \(l_1\), \(l_2\) とする. このとき,

\begin{align*} \frac{q}{A} & = \frac{1}{l_1 / \lambda_1 + l_2 / \lambda_2}(T_1 - T_2) \\ & = \frac{1}{l_1 / \lambda_1} (T_1 - T_3) \end{align*}

したがって,

\begin{align*} \frac{T_1 - T_3}{T_1 - T_2} &= \frac{l_1/\lambda_1}{l_1 / \lambda_1 + l_2 / \lambda_2} \\ & =\frac{(1/386}{1/386 + 1/0.97} \\ & = 0.00248 \end{align*}

\begin{align*} t_3 &= 50 - (50 - 30) * 0.0248 \\ & = 49.95 \ ^\circ \!\mathrm C \end{align*}

[1]:

228 * 40 / 0.005

[1]:

1824000.0

[2]:

import numpy as np
lambdas = np.array([386, 228, 72.7])
deltats = 1000 / lambdas
ts = 20 + deltats
print('Temperature Celcius (copper, alminium, iron) = {:.1f}, {:.1f}, {:.1f}'.format(ts[0], ts[1], ts[2]))

Temperature Celcius (copper, alminium, iron) = 22.6, 24.4, 33.8

[3]:

(1/386) /(1/386 + 1/0.96) * 20

[3]:

0.049617531527806485

[6]:

r = (1/386) / (1/386 + 1/228)
print(r)
t = 50 - 20 * .371
print(t)

0.3713355048859935
42.58