円筒の熱伝導

定常状態での半径方向の伝熱量: \(A = 2 \pi r L\)

境界条件

数学

位置については \(r\) 方向のみの変化を考えればよい. 時間による変化はない（定常）. したがって, 温度は半径方向の位置 \(r\) のみの関数である.

このことから, 式 (1) は常微分方程式である.

変数分離法で

積分して

\begin{align*} \frac{-q}{2\pi L \lambda} \int_{R_1}^{R_2} \frac{dr}{r} & = \int_{T_1}^{T_2} dT \\ \frac{-q}{2\pi L \lambda} \left[ \ln r \right]_{R_1}^{R_2} &= T_2 - T_1 \\ q \frac{1}{2\pi L \lambda} \ln (R_2 / R_1) &= T_2 - T_1 \end{align*}

これより

\begin{align} q & = - \lambda 2 \pi L \frac{T_2 - T_1}{\ln R_2 / R_1} \notag \\ & = \lambda \underbrace{\frac{2 \pi L (R_2 - R_1)}{\ln R_2 / R_1}}_{= A_{\mathrm{lm}}} \frac{T_1 - T_2}{R_2 - R_1} \tag{2} \end{align}

円筒と中空球

円筒

\begin{align*} &q = \lambda A_{\mathrm{lm}} \frac{T_1 - T_2}{R_2 - R_1} = - \lambda A_{\mathrm{lm}} \frac{\Delta T}{\Delta r}, \\ & \quad A_{\mathrm{lm}} = \frac{A_2 - A_1}{\ln A_2 / A_1} \end{align*}

中空球

\begin{align*} & q = \lambda A_{\mathrm{gm}} \frac{T_1 - T_2}{R_2 - R_1} = - \lambda A_{\mathrm{gm}} \frac{\Delta T}{\Delta r}, \\ & \quad A_{\mathrm{gm}} = \sqrt{A_1 A_2} = 4 \pi R_1 R_2 \end{align*}

Quiz

1. 円筒の半径方向の熱伝導を表す方程式を示せ.

2. 円筒の半径方向の熱伝導で, 伝熱量と円筒の内径 \(R_1\), 外径 \(R_2\), 内面温度 \(T_1\), 外面温度 \(T_2\) の関係を表す式を示せ.

3. 100°C と 300°C との対数平均温度を求めよ.

宿題

1. 長さ 1000 mm, 外径 50 mm, 内径 20 mm の円筒の, 内面先と外面積の対数平均を求めよ.

2. 40°C と 100°C との対数平均温度を求めよ.

3. 外径 40 mm, 内径 10 mm の鋼管の外面が 120°C, 内面が 20°C に保たれているとする. 鋼管の熱伝導度を 38 \(\mathrm{W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}}\) とし, 鋼管 1 m あたりの伝熱量を求めよ.

Quiz 解答例

1. Fourier の法則

2. 上記式 (2) または教科書式 (6$:nbsphinx-math:`cdot`$18) より

ただし,

3. 絶対温度で計算することに注意.

[1]:

import numpy as np

c = (300 - 100) / np.log(573/373)
print(c)

r_1 = 0.025
r_2 = 0.01
alm = (2. * np.pi * (r_1 - r_2)) / (np.log(r_1/r_2))
print('logarithmic mean area = {:.4f}'.format(alm))

465.86676109294945
logarithmic mean area = 0.1029

4. 教科書式 (6$:nbsphinx-math:cdot`$18) の右側の式を用いる. :math:`R_1=0.025 mathrm{m}, \(R_2 = 0.010 \ \mathrm{m}\) だから